19年度灘1日目　解説　

[1]　19−1/2＝37/2 　　　37/60 × 2/37＝1/30 　　　1/30 ×200/7＝20/21

　　41/42− 40/42＝1/42

答え 4 2

　　　

[2]　正午から経過した時間は、A、B、Cそれぞれの時計の針の進み具合と比例し ているので、次のような線分図をかいて考える。

青い線分の比例より、７：22/3＝□：11　　　□＝21/2時間　　　　　 　　　　　　　　　　　

緑の線分の比例より、35/6：6＝21/2：□　　□＝54/5時間

答え　A：午後10時48分、B：午後10時 30分

[3]　各位の数字の和は、2＋０＋・・・０＋７＝９だから、これらの数は９の倍数 である。
「27で割り切れるが、81では割り切れない」とあるので、これらの数を９で割ったときの商は27÷9＝３より3で 割り切れるが、81÷9＝9では割り切れないことになる。

虫食 い算で考えると、各数の一の位が７だから□は３と決まり、各数の十の位が０だから、□は２と決まる。□も同様。

つまり各数が１けた増えると、２が１つ増えること がわかる。したがって、わり算の商は次のようになる。

２０７÷９＝２３、２００７÷９＝２２３、２０００７÷９＝２２２３、

２００００７ ÷９＝２２２２３、２０００００７÷９＝２２２２２３　となり、すべてあてはまらないが、２００００００７のとき、２００００００７÷９＝２２２２２２３ 　となり、各位の数の和は、２×６＋３＝15であるので、２２２２２２３は3で割り切れるが、9で割り切れない。

答え　２００００００７

　　　　

[4]　得点が５点、８点、11点、14点、17点のとき、３で割って小数第１位を 四捨五入すると切り捨ての場合に比べて、点数が１点増える。34−30＝4点差あるので、３で割ると２余る得点の人が４人いることになる。３で割ると２余る得点の合計は、次のようになる。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(3×□＋2)×４＝3×(□×4＋2)＋2　←　つまり3で割ると２余る

ところで、得点合計の100点を３で割ると１余る。３で割り切れる数では余りは増え ないので、あと余りが２増えたら、得点合計が３で割ると１余ることになる。　←　(3で割ると２余る)＋2＝(３で割ると１余る)

すなわち、3で割ると1余る得点の人が２人いることになる。

(補足)　　例えば次のような得点分布になります。

得点	４	５	６	７	９	１１	１２	１４	１５	１７	合計
切り捨て	１	１	２	２	３	３	４	４	５	５	30
四捨五入	1	2	2	2	3	4	4	5	5	6	34

　答え　２人

　　　
　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　

[5]　

流れ図は左のようになる。食塩水のやりとりで新しく加えるのは水だけだか ら、食塩量の合計ははじめもあとも変わらないことを使う。

はじめの比３：２と、あとの比７：３からはじめの比を６：４といいかえる。

Aの食塩水のたての流れを考えると、−＝の食塩をBからAへ移したことがわか る。ここで:の比が使える。食塩水とそれにふくまれる食塩量は比例するので、Bのはじめに水を加えたあとの食塩水の量は100gだから、Aに移した食塩水の量は100g÷４＝ 25g となる。

答え　25g　

[6]　

左図 で、緑の線の平行四辺形が12個あり(青い点がA点から対角線上に最も遠い点)、右回り左回りの2通りずつあるので、12×2＝24通り。

同じ道を行って帰るのは、図の赤い点が1通りずつ、青い点が2通りずつあるので、6 ×1＋12×2＝30通りある。

全部で、24＋30＝54通りある。

答え　54通り

[7]　64＝８×８だから、求める数は８の倍数であり、下３けたが８の倍数だか ら、1,2,3の３数では312が考えられる。残り３数の4,5,6を大きい方から辞書式にならべていくと、645312÷64＝10083となり割り切 れる。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答え　 645312

　　

　　

[8]　ダイヤグラムは次のようになる。

P 君は荷車に、900m÷(90−30)m/分＝15分後に、(30＋15)分×30m/分＝1350m地点ではじめて追いつく。P君は片道15分でA地点 にもどるので、30分＋15分×２＝60分後にまた荷車を追いかける。図の青い部分の三角形の相似からわかるように、1350m×２＝2700m地点で２ 回目に追いつく。さらにP君は、2700m÷９０m/分＝30分でA地点にもどるので、60分＋30分×2＝120分後にまた荷車を追いかける。図の青と 緑の部分の三角形の相似より2700m×２＝5400m地点で３回目に追いつく。

荷車に着目すると、5400m÷30m/分＝180分後にP君に追いつかれる。 P君が追いかけはじめてからでは、180分−30分＝150分となる。

答え　150分後

　　　　

　　　
　　　　　
　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　

　　　　　　　　

　[9]　

１周期75秒だから、(420−25)÷75＝５回あまり20秒より、Aは、 15秒×５＋５秒＝80秒

Bは、45秒×５＋15秒=240秒

答え　80秒、240秒

[10]　

円の半径を□cmとすると、小さい正方形の１辺は□×２cmとなる。小さい正方形の 面積は、大きい正方形から４つの直角三角形の面積をひけばよいので、64−(３×５÷２)×４＝34　となる。34＝(□×２)×(□×2) 　よって、円の半径□×□＝34÷４＝8.5　となることがわかる。斜線部は34−8.5×3.14＝7.31

答え　7.31

　　　　　
　　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　
　　　　　　　

[11]　

上図の青い三角形の相似より、３：２の比がわかり、緑の三角形の相似より、IG＝３ ×3/5＝1.8 がわかる。平行四辺形AECGの底辺を、3＋2＋1.8＝6.8 と考えると、高さが共通な斜線部の平行四辺形の底辺は、２となるので、その面積は、２×５÷(3＋2＋1.8)×2＝50/17となる。

答え　50/17

　　

[12]　下図１のように、側面を面ABCDのまわりに展開すると、半径50cmの 円から面ABCDをひいた面積が箱の外側でチョークが届く範囲となる。50×50×3.14−60×80＝3050

下の図２のような円すいを半分に切った立体を考える。母線50cm、底面の半径 30cmの円すいの底面が、箱の内側において、チョークの届く範囲となる。

同様に考えて、図３の斜線部(すべて円すいの底面の部分となる)がもとめる面積であ る。

30×30×3.14×２＋40×40×3.14＝10676

答え　外側　3050,内側　10676

　　　　

　　　　

　　

　　　

　　　　　　　

[13]　

　 下以外の５方向から見た面の数を合計し、間にかくれている面の数をたせばよい。上から見ると５×５＝25面あり、横から見るとどこから見ても５階建てが４ 本、４階建てが１本見えるので、５×４＋４=24面、24面×４＝96面　ある。間にかくれている面は、下図の線で囲んだ部分で26面ある。

以上より、25＋96＋26＝147　　また３面にはられているのは、下図右より、 2＋5＋5＋3＝15面ある。

答え　147枚、15枚

19年度灘2日目　解説　

[1]　

(1)　２分、３分、４分、５分、６分の最小公倍数は60分だから、60分周期でく り返す。

10時＋60分＝11時０分

答え　11時0分

(2)　３分と5分の最小公倍数は15分だから、15分後となる。

答え　15分

(3)　２分、３分、５分、６分の最小公倍数は30だから、10時30分

答え　10時30分

　　

　　　　

(4)　

２または３または５の倍数の個数を求め、60からひくとよい。図のどの円にも含まれ ない部分となる。そのためには、10の倍数、15の倍数、30の倍数の個数を求める必要がある。

60÷2＝30個・・・2の倍数

60÷3＝20個・・・3の倍数

60÷5＝12個・・・5の倍数

60÷6＝10個・・・6の倍数

60÷10＝6個・・・10の倍数

60÷15＝4個・・・15の倍数

60÷30＝2個・・・30の倍数

30＋20＋12−(10＋6＋4)＋2＝44　60−44＝16分間

答え　16分間

[2]　(1)　　19→20→21→7→8→9→3→1

答え　7回

(2)　⇒を×３、→を−１として１から逆算する。

答え　６、８、27　

(3)　(2)からもう１回逆算すると、

答え　5、７、18、24、26、81

     
        

(4)　−１を３回くり返すと、３の倍数になってしまうので、−１、−１、×３をく り返すことになる。

　　 １⇒３→２⇒６→５→４⇒１２→１１→１０⇒３０→２９→２８⇒８４→８３→８２

答え　82、14回

[3]

(1)　１回目の出会いまで５分かかるので、１回目から２回目までの出会いには、５ 分×２＝10分かかる。Aはこの10分の間にRS 間の４kmを進むことになるので、４km÷1/6＝24km/時の速さとなる。

答え　24km/時

(2)　AはRP間を５分で進んだので、24km/時×5/60時間＝2km　のみ ちのりとなる。

答え　2km

(3)　Bの速さ>Aの速さ、のとき　ダイヤグラムは次のようになる。

図のAの進んだ青い太線部のみちのりは4kmだから、4km−1.2km＝ 2.8km 　Bはこの2.8kmのみちのりを5分で進んでいるので、2.8km÷5/60時間＝33.6km/時　このときPQ間のみち のりは、2.8km＋2km＝4.8km　である。

　　Bの速さ≫Aの速さ、のとき　ダイヤグラムは次のようになる。

Bは５分で、1.2＋4＝5.2km 進むので、5.2÷5/60＝62.4km/ 時　となり、このときPQ間のみちのりは、1.2＋4＋2＝7.2km　である。

　　　　　　　

Aの速さ>Bの速さ、のとき　ダイヤグラムは次のようになる。

Bの速さは、1.2kmを15分で進んでいるので、1.2km÷15/60＝4.8km/ 時　となり、このときPQ間のみちのりは、5分でABが出会っているので、(4.8＋24)×5/60＝2.4km である。

　答え　(33.6km/時、4.8km)、 (62.4km/時、7.2km)、(4.8km/時、2.4km)

　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　
　　　　　　　
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　

[４]　(1)　上から順に１段目、２段目、３段目、４段目と切っていく。図１より、切り口の線が通っている正方形を数えると１＋３＋５＋７＝16個

　　 　同様に、図２より、５＋７＋７＋５＝24個　　

答え　16個、24個

(2)　図３より、青い部分がひし形、白い部分が二等辺三角形である。

答え　ひし形・・・８個、二等辺三角形・・・ 16個

[５]

(1)　BEから上の部 分で円は180°回転するので、この半円の面 積とCDから下の部分の環状部分 と、長方形部分の和を求めればよい。4×3.14÷2＋(100−64)×3.14÷2＋(17×2＋8×2)×2＝162.8

答え　 162.8

(2)　底辺と高さの比より、求める二等辺三角形の 高さを□とおくと、16：15＝12：□　　□＝22.5cm 　　　12×22.5÷2＝67.5

答え　67.5

　　　　　　　　　　　
下図のように、長方形の上辺はBEから下に ずれている。

錯角(Z角)より○●の 角の大きさはそれぞれ等しい。よって図の中にある３つの相似な三角形の辺の比はすべて、17:15:8である。赤い部分の２つの三角形の相似より、2cm ÷15×17＝34/15cmがわかる。よって、34/15cm−２cm＝4/15cm
「ずれ」の長さは、緑の小さな三角形の辺の比より、4/15cm÷８×15＝0.5cm である。求める長方形の面積は、12cm×(8cm−0.5cm)＝90

答え　90

(3)　以上の二等辺三角形、長方形、半円部分の面積をすべてたして、図２の全 体の面積からひけばよいので、16×15÷2＋8×16＋8×8×3.14÷２−(67.5＋90＋6×6×3.14÷2)＝134.46

答え　 134.46