サイコロの目

4.　各面に１から６までの整数を１つずつ書いてある１辺の長さが１cmの立方体を作る。向かい合った面に書いてある数の和はどれも７で、１、２、３が書いてある面は図１のようになっているものとする。このとき次の問いに答えよ。ただし、数字の向きについては考えないものとする。

　　　　

(1)　下の４つの展開図のうち、組み立てると図１のような立方体ができるものについては、残りの面に３から６までの数字を書き入れよ。

(2)　(1)で作った立方体と大きさ、数字の配列とも同じもの８個を張り合せて、１辺の長さが２cmの立方体を作ったところ、次の図のようになった。この立方体のすべての面を見ると１から６までの数が４個ずつ現れている。また、各面の４個の数の和をその面の”目”ということにするとき、向かい合った面の目の和はどれも等しく、各面の目は小さい方から順に２ずつ増しているという。

図２の状態の立方体の底面の目は何か。

図２の状態の立方体で、２が３個見えている面に向かい合った面にある数字を、水平に置いたまま回転した位置で右の図に書き入れよ。

(2)　

１から６までの数が４個ずつ現れるので、(1＋６)×６÷２＝21　21×４＝84　また各面の目が２ずつ増しているので、和差算により、目は９、11、 13、15、17、19である。図２の上面は、1＋1＋1＋6＝9であり、向かい合った目の和は84÷３＝28　であるので、求める底面の目は　28−9 ＝19　である。

向かい合った面の数字の組み合わせは、(1,1,1,6) (6,6,6,1) (2,2,2,5) (5,5,5,2) (3,3,3,4) (4,4,4,3)であることがわかる。次の図のようになる。黒字は見えている面の数字、赤字は向こう側にかくれている面の数字である。図１とよく照らし合わせながら書込む。
下段手前左の立方体は、図１の状態にして置くと４が左側面にくる。
下段奥右の立方体は、図１の状態から水平に180°回転させて置くと２が裏側側面にくる。
上段奥左の立方体は、図１の状態からさかさまにして置くと3が左側面にくる。
最後に、下段奥左の立方体は、図１の状態のまま置くと4,5,6を図のように配置できる。

　某出版社過去問の解答では、上段奥左の裏側側面が2になると書かれています。解説は省かれていて答えが間違っています。
サイコロの問題で目の位置を問う問題は数多いですが、実物のさいころを転がしてイメージをしっかりと作っておいて下さい。さいころの目は1種類ではありません。この問題のように反時計回りに1,2,3、時計回りに1,2,3の２種類があります。もちろん対面の和は7ですね。