[中学受験算数・数列]

１日目にA,B,C３匹の生物がいる。１日後にAはBに、BはCに変化し、CはA,Bを１匹ずつ産みCはそのまま生き続けるとする。４日目に生物は何匹になっているか。また、653匹になっているのは何日目ですか。　　(日能研　改)

　　　

　　　

　　　

　　　

解説

樹形図はつぎのようになる。

左図のように、赤い部分、青い部分、緑の部分がそれぞれ同じ繰り返しになっている。

よって、４日目は、３＋５＋９＝17通りとなる。

５日目も同様にして、青＋緑＋(赤＋青＋緑)となり、これは２日目＋３日目＋４日目と同じである。

つまり前３日の和の数列になっていることがわかる。

よって、

3,5,9,17,31,57,105,193,355,653より、10日目に653匹になることがわかる。

答え　17通り、10日目

　　

　　

　　　

　　　

　　　

　　　

　　　

　　　

　　　

　　　　　

　　　

　　　　

考察

トリボナッチ数列ですね。フィボナッチ数列が前２つの和であるのに対して、前３つの和になります。その場でややこしい仕組みを左脳を使って考えても無理でしょう。右脳で解けば上のようになります。試しに前３つの和を出してみれば気付くことではありますが・・・

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