4.
図のような箱とボールを準備し、4つの箱にボールを1つずつ入れて、A君とB君の２人が、次の(ア)、(イ)、(ウ)のルールにしたがってゲームをする。
(ア) 下の表の
から指示にしたがって矢印方向に進む。
(イ) 取り出したボールはどの箱にももどさない。
(ウ) 下の表の
まで進んだとき、最後のボールを取り出した者を勝ちとする。
例えば下の図ように、ボールを入れたとき、A君が２の箱を選ぶと
のボールが取り出され、２の箱は空になるのでB君と交代し、B君が１の箱を選ぶと、
の順にボールが取り出されて、まで進み、B君の勝ちとなる。次の各問いに答えよ。
（１） １から４までの番号のついた４つの箱に１から４までの番号のついた４つのボールを１つずつ入れる方法は全部で通りある。
(2) (1)のうち、A君が４つのボールをすべて取り出して勝つようなボールの入れ方は全部で何通りあるか。
(3) (1)のうち、B君が勝つようなボールの入れ方は全部で何通りあるか。
解説
(1) ４つのものを1列に並べる順列だから、４×３×２×１＝２４通り
答え ２４通り
(2) 箱とボールの番号が一致すると、B君に交代してB君がボールを取ることになるので、番号が一致しない場合を、箱1にボール2が入っている場合について書き上げてみると、
(箱1、箱2、箱3、箱4)＝(２-１-４-３) (２-３-４-1) (２-４-１-３) の3通りあるが、この内 (２-１-４-３) は２-１または４-３と取り出したあとB君に交代してしまうことになるので、３−1＝2通り となる。
すなわち、箱1にボール3や4が入っている場合も同様なので、 2通り×3＝6通り
答え 6通り
(3) 様子をさぐるために、途中まで表にしてみる。箱とボールの番号が一致した部分を読み取る。
| 箱1 |
箱2 |
箱3 |
箱4 |
勝者 |
| １ |
２ |
３ |
４ |
B |
| 1 |
2 |
4 |
3 |
A |
| 1 |
3 |
2 |
4 |
A |
| 1 |
3 |
4 |
2 |
B |
| 1 |
4 |
2 |
3 |
B |
| 1 |
4 |
3 |
2 |
A |
| 2 |
1 |
3 |
4 |
A |
| 2 |
1 |
4 |
3 |
B |
| 2 |
3 |
1 |
4 |
B |
| 2 |
3 |
4 |
1 |
A |
| 2 |
4 |
3 |
1 |
B |
Bが勝つのは、
* 1行目の箱とボールの番号がすべて一致する場合・・・1通り
* 箱とボールの番号が2つずつ入れ代わっている場合・・・(2,1,4,3) (3,4,1,2) (4,3,2,1)の3通り
* 箱とボールの番号が１つだけ一致する場合・・・例えば、4だけ一致する場合は (2,3,1,4) (3,1,2,4) の2通りあるが、1、2、3、だけ一致する場合もあるので、全部で、2通り×4＝8通り
以上より、1＋3＋8＝12通り
答え 12通り