米俵　　　　　　　

難問31

　図のように米俵を1段あがるごとに1本ずつ減らして積み上げていきます。1番上の段は2本以上減らしてもかまいません。積み上げる場所を、なるべくせまくするために、1番下の段をできるだけ少ない本数で積み上げていくとき、次の問いに答えなさい。(2000年　清風南海 改)

(1)　米俵を積み重ねて、5段になるのは、全部で何通りありますか。

(2)　10段になるうちで、最も多いのは何本ですか。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

解説

(1)

このように、ななめに1段、2段、・・・と積んでいきます。

このように、5段積むときは、1＋2＋3＋4＋5＝15個　から、ななめに、さらに積んでいきます。図の青い部分　5×3＝15個を積みおわると、上の青い点線部分に、6個分のスペースができます。ここに、図の赤い部分の5個を積み上げることができます。言い換えれば、赤い列を図のように右はしに積んでしまうと、1番下の段を最少の本数にしたことにならないので、5段の場合は、赤い列は積んではいけないことになります。それでは、順に調べていきましょう。

正三角形に5段にならべたとき、もちろん、OKです。(1＋5)×5÷2＝15・・・・15個

さらに、右はしに　5ー1＝4個　積んだとき。15＋4＝19・・・19個　(右はしに3個以下は、1段ごとに1本ずつ減るという問題の意味にあいません。)

右はしに、青の列1列分積んだとき、15＋5＝20・・・20個

さらに、右はしに　5ー1＝4個　積んだとき、20＋4＝24・・・24個

このとき、1番上の段から1個とってもよいので、24ー1＝23・・・23個

右はしに、青の2列分積んだとき、15＋10＝25・・・25個

さらに、右はしに、5ー1＝4個　積んだとき、25＋4＝29・・・29個　　このとき、1番上の段から1個とると、右はしに積んだ4個分が、最上部の4個分のスペースに積み上げることができるので、5段にはなりません。

右はしに、青の3列分積んだとき、15＋15＝30・・・30個

以上より、8通りです。

(2)

　55＋10×4＝95個　この状態で正解になります。

確かめましょう。

このときは、赤の1列が、最上部の10個分のスペースに積めるので、10段になりません。

このときは、1段上がるごとに1本ずつ減らすという、問題の意味に合いません。また、右はしに9個積んだときも、最上部のスペースに積めるので、10段になりません。

考察

ななめに1段ずつ積んでいくこと、が何よりも重要です。下から1段ずつと考えると迷路に入ってしまいます。