10年度灘2日目　

3.
１辺が１cmで，表面が白色の立方体をすき間なく積み重ねて直方体を作っておく。まず，
その直方体の表面全体を赤色にぬったところ，２面だけが赤色である１辺が１cmの立方体は
100個であった。次に，赤色の面のある立方体を全部はずして，残った直方体の表面全体を
黄色にぬった。次に，黄色の面のある立方体を全部はずして，残った直方体の表面全体を青
色にぬった。さらに，青色の面のある立方体を全部はずしたところ，１辺が１cmの立方体56
個でできた直方体が残った。この直方体の表面全体を緑色にぬって，色ぬりは終わった。次
の各問いに答えよ。
　  　
(1) 最初の直方体のたて，横，高さの和を求めよ。

(2) 最初の直方体は，１辺が１cmの立方体を何個用いて作られていたか。

(3) 色ぬりが終わったとき，最初の直方体をつくるのに用いられた１辺が１cmの立方体のう
ち，１面だけが白色から他の色に変わっている立方体は何個あるか。

解説

(1)たて、横、高さがそれぞれ４本ずつあるので、1本ずつの和(1図の赤い線３本の和)は100cm÷４＝25cmで、これに図の青い線の長さの合計６cmをたしたものが、最初の直方体のたて、横、高さの和となる。よって、25cm＋６cm＝３１cm

答え　３１cm

(2)　立て、横、高さの積が５６だから、３つの数の積に分解すると５６＝２×４×７または５６＝２×２×１４となるが、1回外側の立方体を取り去ることによって、長さが２cmずつ減るので、３回くりかえすと、６cm減ることになる。つまり、最初の直方体の辺は、　２cm４cm７cmのとき(2＋６)cm＋(4＋６)cm＋(7＋６)cm=31cmとなり問題に適する。２cm２cm１４cmのときは、　　　　　　　(2＋６)cm＋(2＋６)cm＋(14＋6)cm＝３６cmとなり、問題に適さない。

よって、立方体の個数は、８×１０×１３＝1040個

答え　1040個　

(3)　2図の黒い部分の立方体が、1面だけ他の色に変わるので、

まず赤に変わるのは、(8ー２)×(10ー２)＋(10ー２)×(13ー２)＋(8ー２)×(13ー２)＝202個

次に黄に変わるのは、(6ー２)×(8ー２)＋(8ー２)×(11ー２)＋(6ー２)×(11ー２)＝114個

次に青に変わるのは、(4ー２)×(6ー２)＋(6ー２)×(9ー２)＋(4ー２)×(9ー２)＝50個

最後に緑に変わるのは、(2ー２)×(4ー２)＋(4ー２)×(7ー２)＋(2ー２)×(7ー２)＝10個

以上より6面を合計すると、(202＋114＋50＋10)×２＝752個

答え　752個